chi-square random variables

Central Chi-Square Random Variable

카이 제곱 확률변수는 표준 정규함수들의 제곱들의 합을 의미한다.

그리고 M개의 freedom에 의해 정의된다.

여기서 M이란 해당 확률변수를 구성하는 표준 정규확률변수의 개수를 의미한다.

Chi-square pdf

해당 pdf에는 gamma function을 사용한다. 이를 간략하게 설명하겠다.

gamma function은 팩토리얼 함수를 실수값에도 적용하기 위해 사용한 함수이다.

gamma function의 식은 위와 같이 정의된다.

그리고 gamma function은 위의 특징을 가진다.

또한 central chi-square의 평균과 분산은 위와 같이 정의된다.

이를 통해 M은 2*평균의 제곱/분산으로 정의된다.

위의 그래프에서 말하는 k는 M freedom을 의미한다. M의 개수가 커질수록 분포가 넓게 퍼져있는 것을 파악할 수 있다.

이는 M값이 커질수록 정규분포에 가까워진다는 것을 의미한다.

이는 중심극한정리(central Limit Theorem)를 통해 보다 명확하게 알 수 있다.

Non-Central Chi-Square Random Variable

위의 central에서 정의한 카이함수와 다르게 Xm에 Uxm을 더해 Ym은 zero mean을 가지지 않는다.

식을 전개해 보면 위와 같은 형태를 가진다.

이 과정에서 우리가 평소 쓰는 M 말고도 새로운 변수 lambda가 추가된다.

The non-central chi-square pdf

또한 pdf는 위와 같이 정의된다.

이 그래프를 통해 M값은 일정한데 람다값이 상승함에 따라 pdf에 어떤 영향을 미치는지 파악할 수 있다.

람다가 커지면 그래프가 전체적으로 오른쪽으로 이동하고 해당 그래프의 peak vaule가 감소하는 것을 파악할 수 있다.

예시를 들어 좀 더 쉽게 설명해 보겠다.

만약 실험을 통해 오차측정을 하고 central의 경우 오차 제곱합이 카이제곱 분포를 따른다.

만약 여기서 시스템오차가 생겨 이러한 값이 제대로 나오지 않을 때 시스템 오차가 lambda를 의미하고 이는 즉 lambda가 커질수록 시스템의 오차가 커지는 것을 의미하고 이는 곧 그래프가 넓게 퍼지는 것을 의미한다.