Random Process

모든 결과를 숫자로 매핑하고 이러한 random variable이 시간의 함수일 경우 이를 random process라고 부른다.

cdf와 pdf의 경우 random process는 시간에 따라 변하기 때문에 아래와 같은 식으로 정의된다.

X(t)의 n번째 순간은 아래와 같이 정의된다.

그리고 이러한 random process에는 크게 3가지로 분류된다

stationary

시간에 따라 통계적 특성이 변하지 않는 특성을 가진다.

그에 따라 시간에 따라 평균이 일정한 상수값을 가진다.

Wss(Wide sense stationary)

Wss의 경우 위의 식을 통해 알 수 있듯이 mean과 autocorrelation은 시간에 따라 변하지 않는다.

즉, 시간에 의존하는 것이 아닌 tau(시간차이)에 의존한다.

해당 결과로 나온 값들은 시간에 대한 함수가 아니라 tau로 이루어진 값으로 존재해야 된다.

ergodic

시간의 time average, correlation이 통계적인 average, correlation과 같다.

즉 한 번의 측정을 통한 시간 평균을 이용하여 통계적인 평균을 추정할 수 있다는 것을 의미한다.

예시로 한 사람이 매일 아침 기온을 측정하면서 얻은 데이터를 시간 상관함수라고 하고 여러 사람이 측정한 아침 기온의 평균을 ensemble 상관함수라고 할 때 ergodic의 경우에 두 값이 같다는 것을 의미한다.

x(t)를 한 구간 동안 적분하여 그 구간으로 나누어 무한대로 보내는 것은 시간 평균을 계산하는 것으로 ergodic의 경우 시간 평균과 ensemble 평균이 동일하기 때문에 위의 식은 성립한다. 마찬가지로 autocorrelation의 경우도 마찬가지이다.

마지막으로 위에서 설명한 3 분류의 범위를 위의 그림을 통해 파악할 수 있다.

ergodic의 경우 한 실험의 값이 여러 번 시도한 값의 평균과 동일해야 하기 때문에 상대적으로 stationary보다는 작은 영역에 위치한 것을 볼 수 있다.

또한 stationary는 random process이기 때문에 포함되어 있는 그림을 볼 수 있다.