Radar range equation

Isotropic antenna(모든 방향 동일한 에너지 방사)
PD=power desnity

sphere이 구라고 가정할 경우 구의 단면적이 위와 같이 나온다.

그 결과 power density는 위와 같은 식으로 성립하게 된다.
 
directional antenna(특정 방향에 에너지 방사)
위의 방식의 경우에는 antenna gain G와 antenna aperture Ae에 의해 성능이 결정된다.
또 각각의 G, Ae의 식은 아래와 같이 정의된다.

여기에서 lambda란 wavelength를 의미한다.
또한 antenna gain G는 antenna의 azimuth(위도)와 elevation(고도)의 식으로도 표현가능하다.

이제 directional antenna에서 다시 한번 Power density에 대해 정의하게 되면 아래의 식으로 정의된다.

여기에서 power density는 당연하게도 antenna gain G가 커지면서 커지게 되고 레이더의 거리 R이 증가하면서 power density는 감소하게 된다.
 
Rader Cross section(RCS)는 방사된 레이더가 물체와 충돌할 경우 각 물체의 특성에 따라 방출하는 에너지가 다르고 이러한 모든 특성을 정의한다.

PD=peak power density            Pr=power reflected             m^2=area of sphere
RCS가 작다는 것은 레이더가 물체를 탐지함에 있어 어려운 것을 의미하고 크다는 것은 레이더가 물체를 탐지함에 있어 더욱 용이하다는 것을 의미한다. 그에 따라 위의 식을 보게 되면 power reflected가 커지면 RCS가 커지는데 이는 반사하는 power가 커지는 게 RCS의 크기가 크다는 것을 반증하기도 한다.

PDr=total power deliverd signal to antenna
위의 식을 보게 되면 당연하게도 peak transmitted power(Pt)가 커지면서 송신신호가 커지니 당연하게도 deliverd signal이 커지고 gain, RCS, Ae도 커지면 당연하게도 deliverd signal이 증가하는 것을 볼 수 있다.
그리고 가장 중요한 레이더의 거리와의 관계를 보게 되면 R의 4 제곱과 반비례하는 것을 볼 수 있습니다. 여기에서 송신한 신호가 다시 돌아와 그 power를 측정하는 것이기 때문에 4 제곱과 반비례하는 것을 볼 수 있다.
이후 아래의 식은 위의 식에서 Ae를 전개하여 대입한 식이다.

여기에서 R과 PDr의 위치를 바꿔주게 되면 아래와 같은 식을 만들게 됩니다.

Smin= 탐색가능한 최소한의 신호의 power                    Rmax=최대 레이더 거리
PDr은 레이더 신호가 얼마나 멀리 전송될 수 있는지를 결정합니다. 전력이 더 크면, 신호는 더 멀리까지 도달할 수 있으며, 따라서 레이더의 최대 범위가 넓어집니다.
 
여기서부터는 이제 노이즈가 레이더에서 어떻게 작용하는지 알려드리겠습니다.

Ni=reciever input noise power                 K=볼트만 상수              Ts=noise temperature

F=noise figure(수신기의 정확도)

Te는 antenna를 제외한 effective noise temperature를 의미한다.

Ts는 위의 노이즈에서 정의되었듯이 total effective noise temperature를 의미하고 이는 Te와 Ta(antenna noise temperature)를 더한 것과 같다. To는 out noise temperature로 290K을 의미하고 이는 Ta와 같다고 가정하게 되면 Ts=ToF의 식을 유도하게 된다.

위에서 구한 Ts로 Ni의 값을 구할 수 있다. 그리고 noise figure의 식을 참고해서 위와 같은 식을 유도 할 수 있다.

앞선 식들을 종합하여 maximum detection range와 output receiver의 SNR을 도출할 수 있었다.
 
 

위의 두 그래프는 matlab을 통해 실제 detection range에 따른 SNR을 구현한 figure이다.
Detaction Range가 커지면서 SNR이 감소된 것을 볼 수 있었고 RCS와 Pt가 커지면서 SNR이 증가함을 볼 수 있었다.